http://matlbb.0pk.me/ Learn for crazy ru-ru Thu, 24 Nov 2011 04:35:37 +0400 MyBB/mybb.ru http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=12#p12 <p>Системой счисления называется совокупность приемов обозначения чисел – язык, алфавитом, которого являются символы (цифры), а синтаксисом – правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно. Под алфавитом понимается набор элементарных (не представимых друг через друга) элементов информации. Любое число – вернее, его запись – представляет собой набор элементов алфавита соответствующей нумерации, и, притом, должны еще учитываться некие правила, касающиеся расположения этих элементов в записи. Различие чисел определяется по их основной характеристике – величине – мере количества. Выполнение указанного условия – основа существования бесчисленного множества различных систем счисления (СС). В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. </p> <p>&#160; 1.1 Непозиционные CC </p> <p>&#160; Непозиционные CC обладают одним общим свойством – независимостью веса цифры от её положения в записи числа. Алфавит содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от её начертания. К ним может быть отнесена римская запись числа, использующая символы I, V, X, L, l и другие (с некоторыми нарушениями свойства независимости веса цифры от её положения в числе, например, для чисел IV и VI). </p> <p>&#160; 1.2 Позиционные CC </p> <p>&#160; В позиционной системе счисления число представляется в виде определенной последовательности нескольких цифр. Место каждой цифры в числе называют позицией. Первая известная нам система, построенная на позиционном принципе, - шестидесятичная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначились &quot;&quot; единицы, другим - десятки. При определении числа учитывали, что цифры в каждом следующем разряде были в 60 раз больше той же самой цифры из предыдущего разряда. Запись числа была неоднозначной, так как не было цифры для определения 0. Следы вавилонской системы сохранились и до наших дней в способах измерения и записи величин углов и времени. </p> <p>&#160; 1.3 Понятие разряд и разрядность </p> <p>&#160; Отдельные позиции, пронумерованные индексами k (-n&#160; 1.4 Понятие основание CC </p> <p>&#160; Каждая цифра ak в записываемой последовательности может принимать всевозможные значения. Количество различных цифр (N), используемых для изображения чисел в позиционной системе счисления, называется основанием CC. Основание N указывает, во сколько раз единица k+1-го разряда больше единицы k-го разряда, а цифра ak соответствует количеству единиц k-го разряда, содержащихся в числе. Основание позиционной CC определяет её название. </p> <p>&#160; 1.5 Алфавит СС </p> <p>&#160; Алфавит СС – это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной СС с использованием определённых правил. </p> <p>&#160; Количество символов в данном алфавите называется мощностью алфавита. </p> <p>&#160; 1.6 Диапазон представления чисел в заданной СС </p> <p>&#160; Диапазон представления D чисел в данной СС – это интервал числовой оси заключенной между минимальным и максимальным числами, представленными заданными разрядами. <br /> Лекция 2. Двоично – кодированные СС </p> <p>&#160; 2.1 СС с основанием 2l </p> <p>&#160; Приоритетное использование в цифровой технике элементов, принимающих одно из двух значений, определило важность двоичной, а также двоично-кодированной СС, использующих для кодирования цифр двоичный алфавит {0, 1}. Особое положение среди двоично-кодированных СС занимают СС с основанием вида 2l, где l = 2, 3, 4 … Их особенность заключается в возможности кодирования цифр l – разрядными двоичными эквивалентами, при которых эти системы совпадают с двоичной СС. Практический интерес представляет СС с основаниями l = 3 и l = 4, определяющие связь двоичной СС с восьмеричной и шестнадцатеричной. </p> <p>&#160; 2.2 Двоично-десятичная запись числа </p> <p>&#160; Двоично-десятичный код — форма записи целых чисел, когда каждый десятичный разряд кодируется тетрадой, т.е. число записывается в виде его четырёхбитного двоичного кода. <br /> Лекция 3. Перевод чисел из одной СС в другую </p> <p>&#160; 3.1 Правила перевода из 2-ной СС в СС кратным 2 и обратно </p> <p>&#160; 2 &lt;-&gt; 16. Перевод из 2-ой СС в 16-ую СС. Начиная от правого края целого числа (от младшего разряда), записанного в 2-ичной нумерации, каждые 4 разряда заменяются на 1 разряд с тем же весом в 16 – ричной нумерации. </p> <p>&#160; 16 &lt;-&gt; 2. Перевод из 16-ой СС в 2-ую СС. Начиная от правого края целого числа (от младшего разряда), записанного в 16-ичной нумерации, каждый разряд заменить на 4 разряда с тем же весом в 2 – ой нумерации. </p> <p>&#160; Разумеется, лидирующие нули в крайней слева “четверке” (“тетраде”) можно опустить. </p> <p>&#160; Примеры перевода чисел между 2-ричной и 16-ричной нумерациями: </p> <p>&#160; 2 &lt;-&gt; 16. Тетрады 0011 0111 1100 &lt;-&gt; 37С<br />0100 7 С &lt;-&gt; 4F9</p> <p>&#160; 2 &lt;-&gt; 8. Триади 001 100 011 &lt;-&gt; 1438<br />1 4 3 </p> <p>&#160; 2 &lt;-&gt; 4. Пары: 01 10 00 11 &lt;-&gt; 12034<br />1 2 0 3 </p> <p>&#160; 3.2 Перевод чисел из N=i СС в десятичную </p> <p>&#160; 1. Переводим, используя развёрнутую запись числа, формула (1.5). </p> <p>&#160; При переводе необходимо пронумеровать разряд целой части справа на лево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после точки, слева направо (начальный номер -1). Потом вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание СС, в степени равной номеру разряда (по правилам десятичной СС). Это и является представлением исходного числа в десятичной СС. </p> <p>&#160; 2. Переводим, используя схему Горнера. </p> <p>&#160; Многочлен AN представленный формулой (1.5), можно отобразить в следующем виде: </p> <p>&#160; Целая часть: AN = (((ap-1N + ap-2)N ... + a2)N + a1)N + a0 (1.10) </p> <p>&#160; Дробная часть: AN = ((((a-1N + a-2)N ... + an-1)N + a-l)N-n (1.11) </p> <p>&#160; 1.1. Перевод целой части: старшая цифра умножается на основание СС(N=11), к ней добавляется следующая цифра, полученная сумма обрабатывается как старшая цифра c участием следующей цифры и так до сложения с самой младшей цифрой: </p> <p>&#160; 64311=(6*11+4)*11+3 [6*112+4*111+3*110] </p> <p>&#160; 1.2 Перевод дробной части: выполняется путём приведения дроби к целому числу с сомножителем N-l, где l – разрядность дроби. </p> <p>&#160; 0.64311=64311*11-3=773/113=773/1331=0.581 </p> <p>&#160; 3.3 Перевод из десятичной СС в N= i. </p> <p>&#160; 1. Перевод целой части. </p> <p>&#160; Для перевода целой части из десятичной СС в N = i необходимо выполнить деление числа на основание СС, в которую осуществляется перевод. Остаток от деления является младшей цифрой результата, а частное обрабатывается как исходное число с вычислением следующего остатка – следующей цифры и так до получения нулевого частного. Можно выполнять операцию без последнего деления, т.е. до вычисления частного, которое меньше основания СС. Это частное является старшей цифрой результата. </p> <p>&#160; 2. Перевод дробной части. </p> <p>&#160; Выполняется умножением дроби на основание СС, в которую осуществляется перевод. Целая часть произведения является старшей цифрой результата, а дробная часть обрабатывается как исходное число с вычислением следующей цифры. Если целая часть равна 0, то можно завершить перевод, в противном случае результат и вычисляется заданное количество его разрядов – 3 разряда. <br /> Лекция 4. Две основных формы представления чисел </p> <p>&#160; В ЭВМ применяются две основных формы представления чисел: с плавающей точкой и фиксированной точкой (нормальная и обычная). </p> <p>&#160; При представлении чисел с фиксированной точкой положения точки занимает определенное место относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для чисел, изображенных в данной разрядной сетке. Обычно точка фиксируется перед старшим разрядом или после младшего. В первом случае в разрядной сетке будут представлены только числа, которые по модулю менее 1, во втором – только целые числа. </p> <p>&#160; Для устранения недостатка формата с фиксированной точкой (слежка за положением точки и сравнительно небольшой диапазон представляемых чисел) используются числа в формате с плавающей точкой. В этом формате разряды числа разбиваются на два поля, названия, которых: мантисса и порядок. </p> <p>&#160; Представление числа с плавающей точкой в общем случае имеет вид:&#160; A = m*Np <br /> N- основание СС <br /> p - целое число – порядок числа А. <br /> m - мантисса числа </p> <p>&#160; Для двоичной СС порядок и мантисса представляются в двоичной форме:&#160; A=m*2p <br /> Лекция 5. Представление чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах. </p> <p>&#160; 5.1 Прямой код </p> <p>&#160; Самым простым машинным кодом является прямой код, который выходит при кодировании в числе только знаковой информации. </p> <p>&#160; Прямым кодом числа называется его изображение в естественной форме, у которого в знаковом ряде помещается ноль, если число положительно и единица, если число отрицательно. Прямой код положительного числа совпадает с его обычным изображением в естественной форме. </p> <p>&#160; Формула для образования прямого кода (1.14) правильной дроби имеет вид </p> <p>&#160; |A|пр = A, если A&gt;0; </p> <p>&#160; |A|пр = 1-A, если A &lt; 0 ; </p> <p>&#160; Код знака записывается перед старшей цифрой числа и отделяется от нее точкой. Прямой код целого числа образуется по формуле (1.15) </p> <p>&#160; |A|пр = A, если A&gt;0; </p> <p>&#160; |A|пр = 10n-1-A, если A &lt; 0 ; <br /> где 10 – число в двоичной системе исчисления, n – количество позиций в разрядной сетке. </p> <p>&#160; Для общего случая (N-1) – если число отрицательно, и 0 – если число положительно, N – основа системы исчисления. </p> <p>&#160; В прямом коде удобно хранить числа в памяти, перемножать, но как оказался, он плохо приспособлен для операции сложения. </p> <p>&#160; Для выполнения сложения чисел в прямом коде необходимо выполнить следующие действия: <br /> 1. сравнить знаки слагаемых <br /> 2. сравнить слагаемые по модулю при неравенстве их знаков <br /> 3. выполнить соответствующую арифметическую операцию: сложение чисел при равенстве знаков и вычитания из большего по модулю более малого при неравенстве <br /> 4. присвоить сумме алгебры знак большего по модулю слагаемого </p> <p>&#160; 5.2 Дополнительный и обратные коды </p> <p>&#160; Поскольку операция сложения проще вычитания, то для того, чтобы реализовать операцию вычитания используются модификации кода (обратный и дополнительный коды) и операция вычитания сводится к составлению в этих кодов. </p> <p>&#160; Формула (2.4) образование дополнительного кода правильной дроби&#160; [A]доп=10+А (2.4) </p> <p>&#160; Формула (2.5) образование обратного кода правильной дроби&#160; [A]обр = 10-10-(n-1)+A&#160; (2.5) </p> <p>&#160; 5.3 Модификации прямого, обратного и дополнительного кодов </p> <p>&#160; При сложении чисел, меньше единицы, в машине могут быть получены числа, по абсолютной величине больше единицы. </p> <p>&#160; При переполнении разрядной сетки в ЭВМ применяются модифицированные прямые, обратные и дополнительные коды. В этих кодах знак кодируется двумя разрядами, причем знаку «плюс» отвечает комбинация 00, а знаку «минус» - комбинация 11 в двоичной СС.</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Thu, 24 Nov 2011 04:35:37 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=12#p12 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=11#p11 <p>Отношения являются частным случаем соответствий. Поэтому для них справедливы абсолютно все свойства соответствий. Также вводятся несколько специальных свойств, используемых только для отношений.</p> <p>Определение 2.23. Отношение&#160; на множестве&#160; называется рефлексивным, если для любого&#160; имеет место . </p> <p>Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы.</p> <p>Определение 2.24. Отношение&#160; на множестве&#160; называется антирефлексивным, если ни для какого&#160; не выполняется . </p> <p>Главная диагональ матрицы антирефлексивного отношения содержит только нули. </p> <p>Определение 2.25 Отношение&#160; на множестве&#160; называется нерефлексивным, если оно не рефлексивно и не антирефлексивно</p> <p>Пример 2.21 Отношение «иметь общий делитель» на множестве натуральных чисел рефлексивно, поскольку число может иметь общий делитель с самим собой.</p> <p>Пример 2.22 Отношение «быть сыном» антирефлексивно, т.к. любой человек не может быть сыном самого себя</p> <p>Пример 2.23. Отношение «быть симметричным относительно оси х» нерефлексивно, поскольку, точка симметрична самой себе, если лежит на оси x, и несимметрично в противном случае</p> <p>Определение 2.26. Отношение&#160; называется симметричным, если для пары&#160; из&#160; следует&#160; (иначе говоря, для любой пары&#160; выполняется либо в обе стороны, либо не выполняется вообще). </p> <p>Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали:&#160; для любых&#160; и . </p> <p>Определение 2.27 Отношение&#160; называется антисимметричным, если из ; и&#160; следует, что ;. </p> <p>Пример 2.24 Отношение «быть симметричным относительно оси х» является симметричным: если первая точка симметрична второй, то и вторая симметрична первой. Пример антисимметричного отношения — отношение &lt;: действительно, если и , то . Нетрудно убедиться в том, что отношение&#160; симметрично тогда и только тогда, когда .</p> <p>Определение 2.28. Отношение&#160; называется транзитивным, если для любых , ,&#160; из&#160; и&#160; следует . Отношения «равенство», &lt;, «жить в одном городе» транзитивны; отношение «быть сыном» нетранзитивно. Отношение «пересекаться», т. е. «иметь непустое пересечение», заданное на системе множеств, также нетранзитивно. Например, {1, 2} пересекается с {2, 3}, {2, 3} пересекается с {3, 4}, однако {1, 2} и {3, 4} не пересекаются.</p> <p>Для любого отношения&#160; отношение , называемое транзитивным замыканием , определяется следующим образом: , если в&#160; существует цепочка из&#160; элементов , в которой между соседними элементами выполнено : , ,…, ,&#160; Если&#160; транзитивно, то&#160; . </p> <p>Пример 2.25 Транзитивным замыканием отношения «быть сыном» является отношение «быть прямым потомком», являю щееся объединением отношений «быть сыном», «быть внуком», «быть правнуком» и т. д.</p> <p>Пример 2.26 Транзитивным замыканием отношения «иметь общую стену» для жильцов дома является отношение «жить на одном этаже».</p> <p>Определение 2.29 Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.</p> <p>Пример 2.27. Отношение равенства Е на любом множестве является отношением эквивалентности. Равенство — это минимальное отношение эквивалентности в том смысле, что при удалении любой пары из Е (т. е. любой единицы на диагонали матрицы Е) оно перестает быть рефлексивным и, следовательно, уже не является эквивалентностью.</p> <p>Пример 2.28 Утверждения вида&#160; или , состоящие из формул, соединенных знаком равенства, задают бинарное отношение на множестве формул, описывающих суперпозиции элементарных функций (см. пример 1.10, г). Это отношение обычно называется отношением равносильности и определяется следующим образом: формулы равносильны, если они задают одну и ту же функцию. Равносильность, хотя и обозначается знаком =, отличается от отношения равенства Е, так как оно может выполняться для различных формул (впрочем, можно считать, что знак равенства в таких соотношениях относится не к формулам, а к функциям, которые ими описываются). Отношение Е для формул — это совпадение формул по написанию. Оно называется графическим равенством.</p> <p>Введём в рассмотрение определение класса:</p> <p>Определение 2.30 Подмножество, все элементы которого обладают некоторым общим свойством, называется классом.</p> <p>Пусть на множестве&#160; задано отношение эквивалентности . Осуществим следующее построение. Выберем элемент&#160; и образуем класс , состоящий из&#160; и всех элементов, эквивалентных . Затем выберем элемент&#160; и образуем класс , состоящий из&#160; и всех элементов, эквивалентных , и т. д.</p> <p>Получится система классов , , …. . (возможно, бесконечная) такая, что любой элемент из М входит хотя бы в один класс, т. е. . Эта система классов обладает следующими свойствами: 1) она образует разбиение, т. е. классы попарно не пересекаются; 2) любые два элемента из одного класса эквивалентны; 3) любые два элемента из разных классов неэквивалентны. Все эти свойства немедленно вытекают из рефлексивности, симметричности и транзитивности . Действительно, если бы классы, например&#160; и С2, пересекались, то они имели бы общий элемент , эквивалентный&#160; и , но тогда из-за транзитивности&#160; было бы , что противоречит построению . Аналогично доказываются другие два свойства.</p> <p>Построенное разбиение, т. е. система классов, называется системой классов эквивалентности по отношению . Мощность этой системы называется индексом разбиения. С другой стороны, любое разбиение М на классы определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно, отношение «входить в один и тот же класс (данного разбиения).</p> <p>Пример 2.29. Все классы эквивалентности по отношению равенства Е состоят из одного элемента.</p> <p>Пример 2.30 Формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В этом примере счетны само множество формул, множество классов эквивалентности (т. е. индекс разбиения) и каждый класс эквивалентности.</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Tue, 15 Nov 2011 14:11:08 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=11#p11 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=10#p10 <p>n-арное отношение является частым случаем соответствия, где областью оправления и областью прибытия является одно и то же множество. Как следует из определения 2.22, одноместным отношением на множестве является подмножество множества . Такие отношения называются признаками. Свойства одноместных отношений совпадают со свойствами подмножеств, поэтому термин «одноместное отношение» употребляется редко. Примером трёхместного (тернарного) отношения является выборка любых трёх дежурных из некоторой студенческой группы. Необходимо заметить, что выборка элементов одной природы является важным моментом при определении отношений. Если выбираемые элементы разной природы, то речь может идти о соответствии или композиции соответствий.</p> <p>Наиболее часто встречающимися и хорошо изученными являются двухместные, или бинарные, отношения. Именно о них будет идти речь в дальнейшем (слово «бинарные» будем опускать). Если ,&#160; находятся в отношении , это часто записывается как . Если некоторая пара&#160; то говорят, что отношение&#160; выполняется для элементов&#160; и . В противном случае, отношение для этих элементов не выполняется</p> <p>Пример 2.17. Примеры некоторых отношений на : 1) отношение&#160; выполняется для пар (7, 9) и (7, 7) (,&#160; верные неравенства), но не выполняется для пары (9, 7) ( неверное неравенство); 2) отношение « и&#160; имеют общий делитель, отличный от единицы» выполняется для пар (6, 9), (4, 2), (2, 4), (4, 4), но не выполняется для пар (7, 9) и (9, 7); 3) отношение «быть делителем» (т. е.&#160; означает «а - делитель ») выполняется для пар (2, 4) и (4, 4), но не выполняется для пар (4, 2) и (7, 9).</p> <p>Пример 2.18. Отношение на множестве символов некоторого алфавита «предшествовать символу», «следовать за символом»</p> <p>Пример 2.19. Отношение на множестве людей «быть моложе», быть старше, «быть братом», «быть знакомым»</p> <p>Пусть дано отношение R на М. Для любого подмножества&#160; естественно определяется отношение , называемое сужением , на , которое получается из&#160; удалением всех пар, содержащих элементы, не принадлежащие . Иначе говоря,. Строго говоря,&#160; и&#160; — это разные отношения, с разными областями определения. Однако, если не возникает разночтений, этот педантизм не соблюдается: например, вполне можно говорить об отношении «быть делителем», не уточняя, задано оно на&#160; или каком-либо его подмножестве. (Отметим, что это допустимо только потому, что ясно, как перенести это отношение на подмножество)</p> <p>Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств (например, список пар, для которых данное отношение выполняется).</p> <p>Отношения на конечных множествах обычно задаются списком или матрицей. Матрица бинарного отношения&#160; на множестве&#160; — это квадратная матрица&#160; порядка , в которой элемент , стоящий на пересечении -ой строки и -го столбца определяется следующим образом:</p> <p>(2.15)</p> <p>Например, для конечного множества&#160; матрица отношения из примера 2.17 будет иметь вид, показанный в табл 2.1:</p> <p>Таблица 2.1 Пример матрицы отношения &quot;меньше-равно&quot;</p> <p>1 <br />2 <br />3 <br />4 <br />5 <br />6</p> <p>2 <br />0 <br />1 <br />1 <br />1 <br />1 <br />1</p> <p>3 <br />0 <br />0 <br />1 <br />1 <br />1 <br />1</p> <p>4 <br />0 <br />0 <br />0 <br />1 <br />1 <br />1</p> <p>5 <br />0 <br />0 <br />0 <br />0 <br />1 <br />1</p> <p>6 <br />0 <br />0 <br />0 <br />0 <br />0 <br />1</p> <p>Поскольку отношения на&#160; задаются подмножествами , для них можно определить те же операции, что и над множествами. Так, отношение из примера 2.17 является объединением отношений «меньше» и равно».</p> <p>Определим еще одну операцию над отношениями. Отношение называется обратным к отношению , (обозначение .), если&#160; тогда и только тогда, когда . Из определения непосредственно следует, что . </p> <p>Пример 2.20. Для отношения&#160; обратным является отношение .</p> <p>Матрица обратного отношения можно получить транспонированием матрицы прямого отношения</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Tue, 15 Nov 2011 14:10:16 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=10#p10 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=9#p9 <p>Определение 2.5. Соответствием&#160; между множествами&#160; и&#160; (обозначается , либо ) называется подмножество . [5]</p> <p>Пример 2.5. Простейшим примером соответствий, известном из курса средней школы, являются функции. Для любой функции, известной из курса средней школы справедливо соотношение . Пары&#160; обладают в этом случае общим свойством – значения&#160; и&#160; обращают уравнение в верное равенство. Поэтому понятие «соответствие» обобщает введённое ещё в курсе средней школы понятие «функции». Далее будет показано (см. ниже), что функция есть соответствие, для которого справедливы ряд свойств соответствий.</p> <p>Если , то говорят, что&#160; соответствует&#160; при соответствии . Достаточно часто в литературе термин «соответствие между множествами&#160; и » употребляется по отношению к обозначению , а само множество пар&#160; называют графиком соответствия. Также в литературе, наряду с обозначением&#160; используют обозначение .</p> <p>Соответствия можно задать перечислением пар, входящих в соответствие, заданием характеристического свойства или порождающей процедуры на декартовом произведении множеств . Кроме перечисленных способов, соответствия можно задавать также при помощи графа соответствия (рис. 2.1)</p> <p>ris2-1.jpg<br /><a href="http://uploads.ru/?v=LWRI9.jpg" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/L/W/R/LWRI9.jpg" alt="http://uploads.ru/t/L/W/R/LWRI9.jpg" /></a></p> <p>Рис. 2.1 Граф соответствия</p> <p>На рис. 2.1 овалами обозначены множества A и B, а кругами – элементы указанных множеств. Стрелки выходят из первой компоненты упорядоченной пары и входят во вторую компоненту этой пары. Более подробно понятие графа рассматривается в курсе «дискретные структуры» во 2 семестре.</p> <p>Соответствия можно также задавать на координатной плоскости. В этом случае, изображение соответствия на координатной плоскости также называется графиком соответствия.</p> <p>Соответствия также можно задавать с использованием матриц соответствия. Данный способ более применим к частному случаю соответствий – отношениям, которые будут рассмотрены позднее.</p> <p>Введём в рассмотрение понятие области определения и области значений соответствия, используя введённое в предыдущем параграфе понятия проекции:</p> <p>Определение 2.6 Множество&#160; называется областью определения соответствия (областью отправления соответствия).</p> <p>Определение 2.7 Множество&#160; - областью значений соответствия (областью прибытия соответствия).</p> <p>Область определения соответствия обозначается , область значений –E.</p> <p>Пример 2.6. Заданы два множества ,&#160; и отображение. Тогда ,&#160; </p> <p>Пример 2.7 Уравнение&#160; задаёт соответствие , состоящее из пар действительных чисел. Эти пары являются координатами точек на окружности, радиусом 1 с центром в начале координат (рис. 2.1). Очевидно, что ; .</p> <p>;ris2-1.jpg<br /><a href="http://uploads.ru/?v=J2SoD.jpg" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/J/2/S/J2SoD.jpg" alt="http://uploads.ru/t/J/2/S/J2SoD.jpg" /></a></p> <p>Рис. 2.2 График соответствие</p> <p>Пример 2.8 Уравнение&#160; задаёт соответствие&#160; состоящее из пар действительных чисел. Эти пары являются кооординатами круга и окружности единичного радиуса (рис.2.2.). Из рис. 2.2 видно, что ; .</p> <p>Пример 2.9. Пусть заданы два множества: Множество&#160; всех студентов, зачисленных на специальность «Программная инженерия»,&#160; множество групп 1 курса специальности «Программная инженерия», определённое деканатом. Тогда&#160; задаёт распределение поступивших студентов по группам. В этом случае , .</p> <p>ris2-2.jpg<br /><a href="http://uploads.ru/?v=ykDgp.jpg" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/y/k/D/ykDgp.jpg" alt="http://uploads.ru/t/y/k/D/ykDgp.jpg" /></a></p> <p>Рис. 2.3 График соответствия&#160; (Заштриховано множество точек, принадлежащих отношению)</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Tue, 25 Oct 2011 01:03:31 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=9#p9 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=8#p8 <p>Определение 2.8. Если , то соответствие называется всюду определенным или полностью определенным (в противном случае соответствие называется частичным).</p> <p>Определение 2.9 Если , то соответствие называется сюръективным (сюръекцией).</p> <p>Всюду определённым и сюръективным является соответствие из примера 2.9, поскольку всем поступившим студентам ставится в соответствие группа, в которой он будет проходить обучение. Соответствие из примера 2.6 является только сюръективным, поскольку его область значений совпадает с множеством . Соответсвия из примеров 2.7 и 2.8 не являются ни всюду определёнными ни сюръективными, поскольку их области определения и области значений не совпадают с .</p> <p>Определение 2.10 Множество всех , соответствующих элементу , называется образом а в В при соответствии G.</p> <p>Определение 2.11. Множество всех , которым соответствует , называется прообразом b в А при соответствии G.</p> <p>Пример 2.10. Заданы два множества&#160; и&#160; и соответствие . Образом элемента «1» в B будет всё множество B, а образом элемента 2 в B будет множество . Прообразом элемента «5» будет множество .</p> <p>Пример 2.11. Для соответствия из примера 2.7 образом элемента&#160; будут элементы&#160; и&#160; . Пары&#160; и&#160; поскольку обе эти пары удовлетворяют уравнению, являющимся характеристическим свойством данного соответствия.</p> <p>Определение 2.12. Если , то образом множества С называется объединение образов всех элементов С.</p> <p>Определение 2.13. Прообраз множества&#160; для любого&#160; – это объединение прообразов всех элементов .</p> <p>Пример 2.12. Образом множества&#160; в соответствии&#160; (см. пример 2.10) будет являться множество , а прообразом множества&#160; будет множество</p> <p>Определение 2.14. Соответствие&#160; называется инъективным (инъекцией), если прообразом любого элемента из&#160; является единственный элемент из .</p> <p>Определение 2.15. Соответствие&#160; называется функциональным&#160; (однозначным, функцией), если образом любого элемента из&#160; является единственный элемент из .</p> <p>Заметим, что функциональность соответствия ещё не означает его инъективность, и наооборот.</p> <p>Пример 2.13. Примером функционального, но не инъективного соответствия является соответствие, задаваемое уравнением .</p> <p>Пример 2.14. Примером инъективного но не функционального соответствия может являться соответствие, где первая компонента каждой пары представляет собой некоторое положительное число, а вторая компонента – любое действительное число, которое при возведении в квадрат даёт первую компоненту.</p> <p>Если некоторая пара&#160; принадлежит некоторому функциональному соответствию&#160; то пишут: . В этом случае элемент&#160; называется аргументом, а элемент&#160; – значением функции. Две функции&#160; и&#160; называются равными, если областью их определения является одно и то же множество&#160; и для любого :</p> <p>Определение 2.14. Всюду определённое функциональное соответствие&#160; называется отображением A в B.</p> <p>Достаточно часто отображение&#160; называют преобразованием множества</p> <p>Определение 2.15. Функциональное соотвествие , у которого область значений соответствия состоит из одного элемента называется функцией-константой.</p> <p>Функция типа&#160; называется n-местной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеет n аргументов:&#160; &#160;где , , ,…,</p> <p>Пример 2.15. Сложение, умножение, вычитание и деление являются двухместными функциями на т. е. функциями типа .</p> <p>Пример 2.16. Таблица выигрышей лотереи задает двухместную не полностью определенную функцию, которая устанавливает соответствие между парами из&#160; &#160;(серия, номер) и множеством выигрышей.</p> <p>Определение 2.16. Пусть дано соответствие . Если соответствие&#160; таково, что&#160; тогда и только тогда, когда , то соответствие&#160; называется обратным к&#160; и обозначается .</p> <p>Для обратных соответвтствий существует несколько свойств:</p> <p>Свойство 1 обратного соответствия. Если некоторое сооответствие является функцией то обратное к нему соответствие инъективно.</p> <p>Свойство 2 обратного соответствия Если некоторое соответствие сюръективно то обратное к нему отношение всюду определено</p> <p>Свойство 3 обратного соответствия. Если некоторое сооответствие является инъекцией то обратное к нему соответствие является функцией.</p> <p>Свойство 4 обратного соответствия. Если некоторое соответствие всюду определено то обратное к нему отношение всюду сюръективно</p> <p>Определение 2.17. Если соответствие, обратное к функции , является функциональным, то оно называется функцией, обратной к , и обозначается</p> <p>Так как в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, то для существования функции, обратной к&#160; требуется, чтобы каждый элемент&#160; из области значений&#160; имел единственный прообраз. Это, в свою очередь, означает, что для функции&#160; обратная функция существует тогда и только тогда, когда&#160; является взаимно однозначным соответствием между своей областью определения и областью значений.</p> <p>Определение 2.18 Соответствие&#160; между&#160; и&#160; называется взаимно однозначным, или биекцией (иногда пишут 1-1-соответствие), если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно</p> <p>Очевидно, что обратное биекции сооответствие, также является биекцией</p> <p>Если между конечными множествами А и В существует взаимно однозначное соответствие, то . Действительно, если это не так, то либо , и тогда, поскольку отображение всюду определено, в&#160; найдутся два элемента, которым соответствует один и тот же элемент&#160; (нарушится инъективность), либо ,&#160; и тогда, поскольку отображение сюръективно, в&#160; найдутся два элемента, соответствующих одному и тому же (нарушится функциональность).</p> <p>Этот факт, во-первых, позволяет установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих мощностей, а во-вторых, часто дает возможность вычислить мощность множества, установив его взаимно однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляется.</p> <p>Введём теперь строгое определение равномощности двух множеств, а также определение счётного множества.</p> <p>Определение 2.19. Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.</p> <p>Определение 2.20. Множества, равномощные&#160; называются счетными.</p> <p>Определение 2.20 формально определяет тот факт, что множество счётно в том случае, если его элементам могут быть поставлены в соответствие некоторые числа натурального ряда. Необходимо отметить, что тот факт что множество счётно, не означает, что оно конечно. Счётными могут быть и бесконечные множества.</p> <p>Для соответствий вводятся основные теоретико множественные операции, а также операция композиции</p> <p>Для сооответствий&#160; и&#160; объединением этих соответствий является соответствие с областью определений, областью значений и графиком, определяемыми по следующей формуле:<br /><br /> </p> <p>(2.6)</p> <p>Пересечением соответствий&#160; и&#160; будет являться соответствие, определяемое следующей формулой<br /><br /> </p> <p>(2.7)</p> <p>Разностью соответствий&#160; и&#160; будет являться соответствие, определяемое следующей формулой<br /><br /> </p> <p>(2.8)</p> <p>Декартовым произведением соответствий называется соответствие:<br /><br /> </p> <p>(2.9)</p> <p>Дополнением соответствия&#160; называется соответствие:<br /><br /> </p> <p>(2.10)</p> <p>Определение 2.21. Композицией&#160; соответствий&#160; является соответствие с областью определения, полностью совпадающей с областью определения соответствия , областью значений, полностью совпадающей с областью значений соответствия , и графиком, , определяемым следующим свойством:<br /><br /> </p> <p>(2.11)</p> <p>Из определения 2.21 и формулы (2.6) вытекает порядок вычисления операции композиции. В том случае, если оба соответствия&#160; и&#160; функциональны (т.е. являются функциями), часто при определении понятия «композиция соответствий» вместо обозначения , пользуются обозначением , известным по курсу средней школы как обозначение сложной функции.</p> <p>Перечислим основные свойства композиции соответствий:</p> <p>Композиция двух соответствий в общем случае некомутативна:<br /><br /> </p> <p>(2.12)</p> <p>Композиция соответствий ассоциативна<br /><br /> </p> <p>(2.13)</p> <p>Справедливость операции ассоциативности вытекает из определения операции композиции. Действительно, для трёх сооответствий не имеет значения какую пару сооответствий вычислять первой.</p> <p>Сооветствие, обратное композиции двух соответствий, равно композиции, обратных к этим двум, соответствий:<br /><br /> </p> <p>(2.14)</p> <p>Важным частным случаем соответствий являются бинарные отношения.</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Tue, 25 Oct 2011 01:00:05 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=8#p8 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=7#p7 <p>Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор (упорядоченная n-ка, кортеж, вектор длины n). В отличие от конечного множества&#160; кортеж&#160; на множествах&#160; характеризуется не только входящими в него элементами , но и порядком, в котором они перечисляются. Как и для упорядоченных пар, роль порядка в кортеже фиксируется определением равенства кортежей.</p> <p>Определение 2.2. Два кортежа&#160; и&#160; на множествах&#160; равны, если , .</p> <p>Пример 2.2. Кортежи&#160; и&#160; на множествах&#160; равны, поскольку для них выполняется определение равенства кортежей (,&#160; и ).</p> <p>Пример 2.3. Кортежи&#160; и&#160; на множествах не равны, поскольку&#160; и&#160; (хотя ).</p> <p>Замечание 2.1. При&#160; из определения (2.2) получаем определение равенства упорядоченных пар. Таким образом, упорядоченная пара – это также упорядоченный 2-набор или упорядоченная двойка. Геометрической интерпретацией упорядоченных пар является система координат. Очевидно, что равные пары обозначаются в системе координат одной и той же точкой. Таким образом, поскольку кортежи являются обобщением упорядоченных пар, можно говорить о том, что геометрической интерпретацией упорядоченного -набора является точка в -мерном пространстве, а равные кортежи обозначаются в этом пространстве одними и теми же точками.</p> <p>Число&#160; называется длиной кортежа (размерностью кортежа), а элемент , - -й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение 2.2 равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают. Простейшим примером кортежа является арифметический вектор, рассматриваемый в курсе высшей математики.</p> <p>Определение 2.3. Множество всех кортежей длины&#160; на множествах&#160; называют декартовым (прямым) произведением множеств&#160; и обозначают .<br /><br /> </p> <p>(2.1)</p> <p>Пример 2.4. Декартовым произведением множеств&#160; и&#160; будет являтся множество .</p> <p>Если все множества ,, равны между собой, то декартово произведение называют n-й декартовой степенью множества&#160; и обозначают . В частности, при&#160; получаем декартов квадрат, а при&#160; - декартов куб множества .</p> <p>По определению полагают, что первая декартова степень любого множества&#160; есть само множество , т.е. .</p> <p>Исходя из определения 2.3 мощность декартова произведения равняется произведению мощностей, входящих в них множеств:<br /><br /> </p> <p>(2.2)</p> <p>В формуле (2.2) правая часть представляет собой обычное алгебраическое произведение двух чисел. Левая часть – мощность декартова произведения. Действительно, рассмотрев декартово произведение , заметим, что количество элементов декартова произведения с некоторым компонентом&#160; равно . Поскольку существует&#160; последовательностей элементов с одинаковым первым компонентом и учитывая определение декартова произведения приходим к формуле (2.2).</p> <p>Декартово произведение имеет следующие свойства [4, 3]:</p> <p>Дистрибутивность относительно объединения<br /><br /> </p> <p>(2.3)</p> <p>Дистрибутивность относительно пересечения<br /><br /> </p> <p>(2.4)</p> <p>Декартово произведение с пустым множеством<br /><br /> </p> <p>(2.5)</p> <p>Введём в рассмотрение понятие проекции кортежа:</p> <p>Определение 2.4. i-ой проекцией кортежа ,&#160; (обозначают ) называют его i-ый элемент.</p> <p>Данное определение проекции кортежа справедливо и для кортежей, входящих в подмножество декартова произведения.</p> <p>В том случае, когда речь будет идти о множестве i-ых проекций&#160; кортежей, принадлежащих множеству , будем обозначать это множество .</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Tue, 25 Oct 2011 00:59:21 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=7#p7 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=6#p6 <p>Пусть A и B — произвольные множества [3]. Неупорядоченная пара на множествах A и B - это любое множество {a,b}, где a thu&#7897;c A , b thu&#7897;c B или a thu&#7897;c B,b thu&#7897;c A . Если A=B, то говорят о неупорядоченной паре на множестве A. Исходя из понятия равенства множеств , можно утверждать, что неупорядоченная пара {a,b} равна неупорядоченной паре {c,d} если только если a=c и b=d или a=d и b=c. Заметим, что равенство элементов множества понимается здесь (и далее в аналогичных ситуациях) как равенство индивидных констант.</p> <p>В том случае, когда в неупорядоченной паре <a href="http://uploads.ru/?v=KA7eQ.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/K/A/7/KA7eQ.gif" alt="http://uploads.ru/t/K/A/7/KA7eQ.gif" /></a><br /> элементы a и b совпадают, получаем, что <a href="http://uploads.ru/?v=CgEDo.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/C/g/E/CgEDo.gif" alt="http://uploads.ru/t/C/g/E/CgEDo.gif" /></a><br />. Но запись {a,a}, как мы условились выше, задает то же самое множество, что и {a}. Таким образом, при a=b неупорядоченная пара {a,b} „вырождается&quot; в одноэлементное множество {а}. При a kh&#225;c b неупорядоченная пара будет двухэлементным множеством.</p> <p>Упорядоченная пара на множествах A и B, обозначаемая записью (a,b), определяется не только самими элементами a thu&#7897;c A и b thu&#7897;c B, но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если A=B, то говорят об упорядоченной паре на множестве A.</p> <p>Существенная роль порядка, в котором перечисляются элементы упорядоченной пары, фиксируется определением равенства упорядоченных пар.</p> <p>Определение 2.1. Две упорядоченные пары (a,b) и (a',b') на множествах A и B называют равными, если a=a' и b=b'.</p> <p>Пример 2.1. Простейший и важнейший пример использования упорядоченных пар дает геометрия. Это известная из курса средней школы прямоугольная система координат.Каждая точка плоскости однозначно задается упорядоченной парой действительных чисел — координатами этой точки. Очевидно, что порядок, в котором перечисляются координаты точки, является существенным: точка, заданная координатами , совсем не то же самое, что точка с координатами .</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Tue, 25 Oct 2011 00:58:29 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=6#p6 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=5#p5 <p>Операции пересечения и объединения обладают свойством комутативности (т.е. для них выполняется переместительный закон), ассоциативности (сочетательный закон), дистрибутивности (распределительный закон) [1]:</p> <p>Коммутативность объединения:<br /><a href="http://uploads.ru/?v=SnE17.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/S/n/E/SnE17.gif" alt="http://uploads.ru/t/S/n/E/SnE17.gif" /></a><br /><br /><br /> </p> <p>(1.8)</p> <p>Комутативность пересечения:<br /><a href="http://uploads.ru/?v=ntNek.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/n/t/N/ntNek.gif" alt="http://uploads.ru/t/n/t/N/ntNek.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.9)</p> <p>Ассоциативность объединения<br /><a href="http://uploads.ru/?v=2mEQA.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/2/m/E/2mEQA.gif" alt="http://uploads.ru/t/2/m/E/2mEQA.gif" /></a></p> <p>)<br /> </p> <p>(1.10)</p> <p>Ассоциативность пересечения<br /><a href="http://uploads.ru/?v=21kFS.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/2/1/k/21kFS.gif" alt="http://uploads.ru/t/2/1/k/21kFS.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.11)</p> <p>Дистрибутивность объединения относительно пересечения:<br /><a href="http://uploads.ru/?v=RLK94.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/nas/f1/jA/web/uploads.ru/data/t/R/L/K/RLK94.gif" alt="http://uploads.ru/nas/f1/jA/web/uploads.ru/data/t/R/L/K/RLK94.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.12)</p> <p>Дистрибутивность пересечения относительно объединения<br /><a href="http://uploads.ru/?v=z16UT.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/z/1/6/z16UT.gif" alt="http://uploads.ru/t/z/1/6/z16UT.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.13)</p> <p>Для операций пересечения и объединения справедливо также свойство идемпотентности:<br /><a href="http://uploads.ru/?v=rxRhA.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/r/x/R/rxRhA.gif" alt="http://uploads.ru/t/r/x/R/rxRhA.gif" /></a></p> <p><a href="http://uploads.ru/?v=qpeRt.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/q/p/e/qpeRt.gif" alt="http://uploads.ru/t/q/p/e/qpeRt.gif" /></a><br /> </p> <p>(1.14)<br /><br /> <br /><br /> </p> <p>(1.15)</p> <p>Также для любых двух множеств&#160; и&#160; справедливо также свойство поглощения:<br /><a href="http://uploads.ru/?v=o4r7j.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/o/4/r/o4r7j.gif" alt="http://uploads.ru/t/o/4/r/o4r7j.gif" /></a><br /><a href="http://uploads.ru/?v=tYEB2.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/t/Y/E/tYEB2.gif" alt="http://uploads.ru/t/t/Y/E/tYEB2.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.16)<br /><br /> <br /><br /> </p> <p>(1.17)</p> <p>Справедливость этих свойств легко проверяется при помощи диаграмм Венна (предлагается проверить это самостоятельно).</p> <p>Для пустого множества и универсума справедливы свойства нуля и единицы соответственно:</p> <p>Свойства нуля объединения<br /><a href="http://uploads.ru/?v=lZjyU.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/l/Z/j/lZjyU.gif" alt="http://uploads.ru/t/l/Z/j/lZjyU.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.18)</p> <p>Свойства нуля пересечения<br /><a href="http://uploads.ru/?v=SNB5j.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/S/N/B/SNB5j.gif" alt="http://uploads.ru/t/S/N/B/SNB5j.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.19)</p> <p>Свойство единицы объединения<br /><a href="http://uploads.ru/?v=0Prbj.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/0/P/r/0Prbj.gif" alt="http://uploads.ru/t/0/P/r/0Prbj.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.20)</p> <p>Свойство единицы пересечения<br /><a href="http://uploads.ru/?v=t6lgU.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/t/6/l/t6lgU.gif" alt="http://uploads.ru/t/t/6/l/t6lgU.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.21)</p> <p>Для операции дополнения справедливо свойство инвалютивности – дополнение дополнения множества есть само множество:</p> <p><a href="http://uploads.ru/?v=TgPlj.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/T/g/P/TgPlj.gif" alt="http://uploads.ru/t/T/g/P/TgPlj.gif" /></a><br /> </p> <p>(1.22)</p> <p>Для дополнения справедливы также следующие свойства пересечения и объединения:</p> <p><a href="http://uploads.ru/?v=3KtQo.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/3/K/t/3KtQo.gif" alt="http://uploads.ru/t/3/K/t/3KtQo.gif" /></a><br /> </p> <p>(1.23)<br /><a href="http://uploads.ru/?v=C7ZQg.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/C/7/Z/C7ZQg.gif" alt="http://uploads.ru/t/C/7/Z/C7ZQg.gif" /></a><br /><br /> <br /><br /> </p> <p>(1.24)</p> <p>Для любых двух множеств&#160; и&#160; справедливы законы Де Моргана<br /><a href="http://uploads.ru/?v=gmiCB.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/g/m/i/gmiCB.gif" alt="http://uploads.ru/t/g/m/i/gmiCB.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.25)<br /><a href="http://uploads.ru/?v=GLH04.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/G/L/H/GLH04.gif" alt="http://uploads.ru/t/G/L/H/GLH04.gif" /></a><br /><br /> <br /><br /> </p> <p>(1.26)</p> <p>Для разности, с учётом характеристического свойства этой операции, можно записать следующее свойство:</p> <p><a href="http://uploads.ru/?v=fhU2E.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/f/h/U/fhU2E.gif" alt="http://uploads.ru/t/f/h/U/fhU2E.gif" /></a><br /> </p> <p>(1.27)</p> <p>На основе свойств объединения, пересечения, разности и дополнения, введём в рассмотрение операцию симметрической разности, определя её следующим образом [3].</p> <p><a href="http://uploads.ru/?v=ej1Tq.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/e/j/1/ej1Tq.gif" alt="http://uploads.ru/t/e/j/1/ej1Tq.gif" /></a><br /> </p> <p>(1.28)</p> <p>Учитывая определение разности, операцию симметрической разности можно определить следующим образом</p> <p>Определение 1.8. Симметрической разностью двух множеств&#160; и&#160; называется множество, элементы которого могут принадлежать либо множеству&#160; либо множеству , но не принадлежат пересечению этих множеств:<br /><a href="http://uploads.ru/?v=UnrGD.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/U/n/r/UnrGD.gif" alt="http://uploads.ru/t/U/n/r/UnrGD.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.29)</p> <p>На диаграмме Венна операция симметрической разности отображается, как показано на рис. 1.6</p> <p>ris1-6.jpg<br /><a href="http://uploads.ru/?v=lCbdF.jpg" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/l/C/b/lCbdF.jpg" alt="http://uploads.ru/t/l/C/b/lCbdF.jpg" /></a></p> <p>Рис. 1.6 Операция симметрической разности</p> <p>На рис. 1.6 заштриховано множество, являющееся результатом операции симметрической разности.</p> <p>Приведём свойства симметрической разности.</p> <p><a href="http://uploads.ru/?v=yJ2Yt.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/y/J/2/yJ2Yt.gif" alt="http://uploads.ru/t/y/J/2/yJ2Yt.gif" /></a></p> <p>(1.30)</p> <p><a href="http://uploads.ru/?v=vmZsf.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/v/m/Z/vmZsf.gif" alt="http://uploads.ru/t/v/m/Z/vmZsf.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.31)</p> <p><a href="http://uploads.ru/?v=IKg71.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/I/K/g/IKg71.gif" alt="http://uploads.ru/t/I/K/g/IKg71.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.32)</p> <p>Симметрическая разность коммутативна<br /><a href="http://uploads.ru/?v=ebE75.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/e/b/E/ebE75.gif" alt="http://uploads.ru/t/e/b/E/ebE75.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.33)</p> <p>Симметрическая разность ассоциативна<br /><a href="http://uploads.ru/?v=jD78R.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/j/D/7/jD78R.gif" alt="http://uploads.ru/t/j/D/7/jD78R.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.34)</p> <p>Пересечение дистрибутивно относительно симметрической разности:<br /><a href="http://uploads.ru/?v=u5SpC.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/u/5/S/u5SpC.gif" alt="http://uploads.ru/t/u/5/S/u5SpC.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.35)</p> <p>Используя операции объединения, пересечения, разности, симметрической разности и&#160; дополнения можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется одноместная операция дополнения, затем пересечения и только затем операция объединения и разности. При этом при упрощении выражений операция разности раскрывается до операций объединения и пересечения, после чего необходимо повторно применить приоритет операций. Для изменения этого порядка в выражении используют скобки.</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Tue, 25 Oct 2011 00:55:23 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=5#p5 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=4#p4 <p>Основными теоретико-множественными операциями являются объединение, пересечение, дополнение и разность.</p> <p>Определение 1.4. Объединением двух множеств <a href="http://uploads.ru/?v=BXcEU.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/B/X/c/BXcEU.gif" alt="http://uploads.ru/t/B/X/c/BXcEU.gif" /></a><br /> является множество C, состоящее из элементов множества A„ и из элементов множества B:<br /><br /> </p> <p>(1.3)</p> <p>Из характеристического свойства очевидно, что для включения элемента в объединение двух множеств необходимо, чтобы он принадлежал хотя бы одному из этих множеств.</p> <p>Пример 1.14. Если заданы два множества&#160; и Y={y: y – студент группы № 2}, то если для указанных групп проводится совместное лекционное занятие то множество&#160; (см. пример 1.8 и формулу (1.1)): .</p> <p>Пример 1.15. Даны два множества&#160; и . Тогда результирующее множество&#160; имеет вид .</p> <p>Пример 1.16. Даны множества&#160; и . Результатом объединения будет множество</p> <p>Замечание 1.3. В примере 1.16 мощность результирующего множества меньше суммы мощностей исходных множеств. Это связано с тем, что результатом объединения множеств является также множество. А, как было указано в п. 1.1 множество не может содержать повторяющиеся элементы.</p> <p>С помощью диаграмм Венна результат операции объединения множно представить, как показано на рис. 1.2.</p> <p>ris1-2.jpg</p> <p><a href="http://uploads.ru/?v=DqV20.jpg" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/D/q/V/DqV20.jpg" alt="http://uploads.ru/t/D/q/V/DqV20.jpg" /></a></p> <p>Рис. 1.2 Пример операции объединения</p> <p>Заштрихованная область представляет собой результат объединения множеств&#160; и .</p> <p>Определение 1.5. Пересечением <a href="http://uploads.ru/?v=Qj2xR.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/Q/j/2/Qj2xR.gif" alt="http://uploads.ru/t/Q/j/2/Qj2xR.gif" /></a><br /> двух множеств&#160; A и B&#160; является множество C, состоящее из элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.<br /><a href="http://uploads.ru/?v=gHRzZ.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/g/H/R/gHRzZ.gif" alt="http://uploads.ru/t/g/H/R/gHRzZ.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.4)</p> <p>Согласно характеристическому свойству, в результирующее множество C включаются только те элементы множеств A и B, которые принадлежат обоим этим множествам. В характеристческом свойстве часто союз &quot;и&quot; заменяют знаком &amp;:<br /><a href="http://uploads.ru/?v=zPDdc.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/z/P/D/zPDdc.gif" alt="http://uploads.ru/t/z/P/D/zPDdc.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.5)</p> <p>Пример 1.17. Пересечением двух множеств&#160; и&#160; является пустое множество, т.к. эти множества не содержат общих элементов, т.е.&#160; </p> <p>Пример 1.18. Пересечением множеств&#160; и&#160; является множество . Т.е.<br /><br /> </p> <p>Почему множество&#160; имеет два элемента, а не четыре, уже рассматривалось ранее (см. замечание 1.3). С помощью диаграмм Венна пересечение двух множеств изображается, как показано на рис. 1.3.</p> <p>ris1-3.jpg</p> <p><a href="http://uploads.ru/?v=fH6mR.jpg" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/f/H/6/fH6mR.jpg" alt="http://uploads.ru/t/f/H/6/fH6mR.jpg" /></a></p> <p>Рис. 1.3 Пересечение множеств</p> <p>Заштрихованная область на рис. 1.3 представляет собой геометрическую интерпретацию операции пересечения двух множеств.</p> <p>Определение 1.6. Разностью <a href="http://uploads.ru/?v=a4uw7.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/a/4/u/a4uw7.gif" alt="http://uploads.ru/t/a/4/u/a4uw7.gif" /></a><br /> множеств A и B является множество C, состоящее из элементов, принадлежащих множеству&#160; A и не принадлежащих множеству B:<br /><a href="http://uploads.ru/?v=Nm5ab.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/N/m/5/Nm5ab.gif" alt="http://uploads.ru/t/N/m/5/Nm5ab.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.6)</p> <p>Таким образом, в результат операции разности двух множеств включаются те и только те элементы, которые входят только в одно из множеств</p> <p>Пример 1.19. Разностью множеств&#160; и&#160; является множество , поскольку все его элементы не принадлежат множеству , т.е. .</p> <p>Пример 1.20. Разностью множеств&#160; и&#160; будет множество .</p> <p>На диаграмме Венна данная операция отображается, как показано на рис. 1.4.</p> <p>ris1-4.jpg<br /><a href="http://uploads.ru/?v=pOxks.jpg" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/p/O/x/pOxks.jpg" alt="http://uploads.ru/t/p/O/x/pOxks.jpg" /></a></p> <p>Рис. 1.4 Графическое изображение разности двух множеств</p> <p>На рис 1.4. штриховкой выделено множество, являющейся результатом операции разности двух множеств.</p> <p>Определение 1.7. Дополнением множества A называется множество :<br /><a href="http://uploads.ru/?v=YHNwM.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/Y/H/N/YHNwM.gif" alt="http://uploads.ru/t/Y/H/N/YHNwM.gif" /></a><br /><br /> </p> <p>(1.7)</p> <p>Согласно определению, множество, являющееся дополнением некоторого множества, содержит все элементы, не принадлежащие данному множеству. Тем не менее (учитывая парадокс Рассела) все элементы дополнения должны принадлежать универсуму. С использованием диаграмм Венна операция дополнения изображается, как показано на рис. 1.5.</p> <p>ris1-5.jpg<br /><a href="http://uploads.ru/?v=3QxAj.jpg" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/3/Q/x/3QxAj.jpg" alt="http://uploads.ru/t/3/Q/x/3QxAj.jpg" /></a></p> <p>Рис. 1.5 Диаграмма Венна для операции дополнения</p> <p>Заштрихованная область на рис. 1.5 обозначает множество, являющееся дополнением множества .</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Tue, 25 Oct 2011 00:53:36 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=4#p4 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=3#p3 <p>Определение 1.1. Множество&#160; B называется подмножеством множества A если для любого b thu&#7897;c B справедливо, что b thu&#7897;c A</p> <p>Множество&#160; в этом случае называется надмножеством множества .</p> <p>Определение 1.2. Если множество B является подмножеством множества A, но при этом не равно ему, то множество B называется собственным подмножеством множества A.</p> <p>Тот факт, что B является подмножеством множества A обозначается знаком <a href="http://uploads.ru/?v=2ugCA.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/2/u/g/2ugCA.gif" alt="http://uploads.ru/t/2/u/g/2ugCA.gif" /></a><br /> для собственного подмножества (<a href="http://uploads.ru/?v=eVpCN.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/e/V/p/eVpCN.gif" alt="http://uploads.ru/t/e/V/p/eVpCN.gif" /></a><br />), и знаком <a href="http://uploads.ru/?v=ZEayD.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/Z/E/a/ZEayD.gif" alt="http://uploads.ru/t/Z/E/a/ZEayD.gif" /></a><br /> для несобственного (<a href="http://uploads.ru/?v=b2t4G.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/b/2/t/b2t4G.gif" alt="http://uploads.ru/t/b/2/t/b2t4G.gif" /></a><br />).</p> <p>Определение 1.3. Для всякого множества A может быть образовано множество всех подмножеств множества A. Его называют булеаном множества A и обозначают 2 m&#361; A:<br /><br /> </p> <p>(1.2)</p> <p>Для булеана используют также обозначения <a href="http://uploads.ru/?v=6W7vI.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/6/W/7/6W7vI.gif" alt="http://uploads.ru/t/6/W/7/6W7vI.gif" /></a><br />,<a href="http://uploads.ru/?v=JfvSY.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/J/f/v/JfvSY.gif" alt="http://uploads.ru/t/J/f/v/JfvSY.gif" /></a><br />&#160; и <a href="http://uploads.ru/?v=vFsRn.gif" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/v/F/s/vFsRn.gif" alt="http://uploads.ru/t/v/F/s/vFsRn.gif" /></a><br />.</p> <p>Пример 1.12. Булеан множества&#160; состоит из четырех множеств , т.е&#160; [3].</p> <p>Пример 1.13. Булеан&#160; состоит из всех возможных, конечных или бесконечных, подмножеств множества N. Так, , , вообще для любого&#160; множество , множество , . Таким образом булеан множества&#160; является бесконечным множеством.</p> <p>Поскольку каждый булеан является множеством, то возможно построить множество&#160; и т.д.</p> <p>Множество также часто задают графически с помощью диаграмм Венна (кругов Эйлера). Пример такого задания множеств приведен на рис. 1.1.</p> <p>ris1-1.JPG<br /><a href="http://uploads.ru/?v=gm0tZ.jpg" rel="nofollow" target="_blank"><img class="postimg" loading="lazy" src="http://uploads.ru/t/g/m/0/gm0tZ.jpg" alt="http://uploads.ru/t/g/m/0/gm0tZ.jpg" /></a></p> <p>Рис. 1.1 Диаграммы Венна</p> <p>На рис.1.1 приведены диаграммы Венна для трёх множеств . На рис. 1.1 прямоугольником обозначаен универсум, откуда берут значения все три множества. Согласно рисунка множества&#160; и&#160; имеют общие элементы, а множество&#160; имеет отличные от множеств&#160; и&#160; элементы</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Tue, 25 Oct 2011 00:00:16 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=3#p3 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=2#p2 <p>Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых&#160; понятий математики. Можно сказать, что множество — это любая определённая совокупность различных объектов [1]. При этом под объектом понимается «…всё, что может быть представлено, названо или воспринято исследователем» [2].&#160; </p> <p>Множество всегда состоит из объектов, которые обладают некоторым общим свойством. Эти объекты называются элементами множества, а общее свойство, согласно которому отбирались элементы – характеристическим свойством. Наличие данного свойства является обязательным для множества, поскольку, как было указано выше, множество – определённая совокупность объектов.</p> <p>Замечание 1.1. В литературе часто вместо термина «характеристическое свойство» пользуются терминами «характеристический предикат» или «порождающая процедура». Термин «характеристический предикат» означает математическое выражение характеристического свойства с использованием логики высказываний, а «порождающая процедура» описывает процедуру формирования множества.</p> <p>Элементы множества различны и отличимы друг от друга. Приведём некоторые примеры множеств, их элементов, а также общих свойств этих элементов</p> <p>Пример 1.1. Множество натуральных чисел. Элементами данного множества являются натуральные числа, а характеристическим свойством – определение натурального числа.</p> <p>Пример 1.2. Множество решений квадратного уравнения. Элементами данного множества являются действительные числа, а характеристическим свойством – то, что действительное число удовлетворяет заданному квадратному уравнению.</p> <p>Пример 1.3. Множество решений некоторого неравенства. Элементами данного множества являются действительные числа, а характеристическим свойством – тот факт, что число удовлетворяет неравенству</p> <p>Пример 1.4: Множество символов алфавита некоторого языка (например, английского). Элементами этого множества являются символы алфавита, а характеристическим свойством – принадлежность буквы английскому алфавиту.</p> <p>Пример 1.5. Множество студентов в аудитории. Элементами множества являются студенты, находящиеся в некоторой аудитории, а характеристическим свойством – признак того, что студент находится в данной аудитории</p> <p>Множества обозначают заглавными латинскими буквами&#160; с индексами или без них. Элементы множества обозначаются, как правило, строчными латинскими буквами&#160; &#160;c индексами или без них. </p> <p>Если некотрый объект&#160; является элементом множества , то говорят, что х принадлежит М. Обозначение: . В противном случае говорят, что&#160; не принадлежит . Обозначение: . Введённые символы уже использовались ранее в курсе средней школы для обозначения множества решений неравенства. Сейчас данное понятие обобщено для любых множеств, в том числе и не числовых. Отметим также, что элемент принадлежит множеству в том, и только в том случае, если он удовлетворяет характеристическому свойству данного множества.</p> <p>Пример 1.6. Для множества натуральных чисел :&#160; (читается как «два принадлежит эн»),&#160; (читается как «одна целая пять десятых не принадлежит эн»)</p> <p>Существуют два основных способа задания множеств: перечислением элементов и с помощью характеристического свойства:</p> <p>Пример 1.7. Задание множества путём перечисления элементов:&#160; 2) .&#160; В первом случае заданы элементы множества вместе с буквенным обозначением множества (заглавная латинская буква ), во втором случае множество задано только перечислением его элементов.</p> <p>Пример 1.8. Задание множества с использованием характеристического свойства (см. пример 1.5):<br /><br /> </p> <p>(1.1)</p> <p>Возможность задания множеств характеристическим свойством существенно зависит от формулировки данного свойства.. Использование некоторых понятий для этой цели может приводить к противоречиям. Например, все рассмотренные в примерах множества не содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим множество K всех множеств, несодержащих себя в качестве элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие. Это неразрешимое противоречие получило название парадокса Рассела. Избежать данного парадокса помогает введение понятия универсального множества (универсума), которому принадлежат элементы, входящие в хотя бы одно из рассматриваемых множеств. Универсальное множество будем обозначать буквой . Выбор универсума зависит, как правило, от решаемой задачи и необязательно включает в себя все объекты реального мира</p> <p>Пример 1.9. Для множества натуральных чисел универсальным множеством может быть множество целых чисел или множество действительных чисел.</p> <p>Пример 1.10. Для множества студентов универсумом будет множество всех людей от 17 до 24 лет или всё множество людей.</p> <p>Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным, в противном случае множество бесконечно. Перечислением элементов могут быть заданы только конечные множества. Бесконечные множества можно задать только с использованием характеристического свойства. При достаточно большом количестве элементов, конечные множества также могут задаваться характеристическим свойством. Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается . Количество элементов конечного множества называется мощностью этого множества. Очевидно, что мощность пустого множества равна 0. Мощность некоторого множества&#160; будем обозначать .</p> <p>Замечание 1.2. В дальнейшем больше внимания будет уделяться конечным множествам. Это связано с тем, что количество адресов в оперативной памяти компьютера является конечным. Конечны также все структуры, используемые в компьютере для представления данных. (эти структуры в литературе называются структурами данных).</p> <p>Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов и имеют равные мощности. Равенство двух множеств будем обозначать знаком «=» (равно)</p> <p>Пример 1.11. Множества&#160; и равны. Множества&#160; и&#160; не равны, т.к. во множестве&#160; осутствует элемент . Множества&#160; и&#160; не равны, т.к. один из элементов множества&#160; является множеством.</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Mon, 24 Oct 2011 23:52:34 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=2#p2 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=1#p1 <p>Благодарим за выбор нашего сервиса!</p> mybb@mybb.ru (matlbb) Thu, 29 Sep 2011 00:31:58 +0400 http://matlbb.0pk.me/viewtopic.php?pid=1#p1