n-арное отношение является частым случаем соответствия, где областью оправления и областью прибытия является одно и то же множество. Как следует из определения 2.22, одноместным отношением на множестве является подмножество множества . Такие отношения называются признаками. Свойства одноместных отношений совпадают со свойствами подмножеств, поэтому термин «одноместное отношение» употребляется редко. Примером трёхместного (тернарного) отношения является выборка любых трёх дежурных из некоторой студенческой группы. Необходимо заметить, что выборка элементов одной природы является важным моментом при определении отношений. Если выбираемые элементы разной природы, то речь может идти о соответствии или композиции соответствий.

Наиболее часто встречающимися и хорошо изученными являются двухместные, или бинарные, отношения. Именно о них будет идти речь в дальнейшем (слово «бинарные» будем опускать). Если ,  находятся в отношении , это часто записывается как . Если некоторая пара  то говорят, что отношение  выполняется для элементов  и . В противном случае, отношение для этих элементов не выполняется

Пример 2.17. Примеры некоторых отношений на : 1) отношение  выполняется для пар (7, 9) и (7, 7) (,  верные неравенства), но не выполняется для пары (9, 7) ( неверное неравенство); 2) отношение « и  имеют общий делитель, отличный от единицы» выполняется для пар (6, 9), (4, 2), (2, 4), (4, 4), но не выполняется для пар (7, 9) и (9, 7); 3) отношение «быть делителем» (т. е.  означает «а - делитель ») выполняется для пар (2, 4) и (4, 4), но не выполняется для пар (4, 2) и (7, 9).

Пример 2.18. Отношение на множестве символов некоторого алфавита «предшествовать символу», «следовать за символом»

Пример 2.19. Отношение на множестве людей «быть моложе», быть старше, «быть братом», «быть знакомым»

Пусть дано отношение R на М. Для любого подмножества  естественно определяется отношение , называемое сужением , на , которое получается из  удалением всех пар, содержащих элементы, не принадлежащие . Иначе говоря,. Строго говоря,  и  — это разные отношения, с разными областями определения. Однако, если не возникает разночтений, этот педантизм не соблюдается: например, вполне можно говорить об отношении «быть делителем», не уточняя, задано оно на  или каком-либо его подмножестве. (Отметим, что это допустимо только потому, что ясно, как перенести это отношение на подмножество)

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств (например, список пар, для которых данное отношение выполняется).

Отношения на конечных множествах обычно задаются списком или матрицей. Матрица бинарного отношения  на множестве  — это квадратная матрица  порядка , в которой элемент , стоящий на пересечении -ой строки и -го столбца определяется следующим образом:

(2.15)

Например, для конечного множества  матрица отношения из примера 2.17 будет иметь вид, показанный в табл 2.1:

Таблица 2.1 Пример матрицы отношения "меньше-равно"

1
2
3
4
5
6

2
0
1
1
1
1
1

3
0
0
1
1
1
1

4
0
0
0
1
1
1

5
0
0
0
0
1
1

6
0
0
0
0
0
1

Поскольку отношения на  задаются подмножествами , для них можно определить те же операции, что и над множествами. Так, отношение из примера 2.17 является объединением отношений «меньше» и равно».

Определим еще одну операцию над отношениями. Отношение называется обратным к отношению , (обозначение .), если  тогда и только тогда, когда . Из определения непосредственно следует, что .

Пример 2.20. Для отношения  обратным является отношение .

Матрица обратного отношения можно получить транспонированием матрицы прямого отношения