Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых  понятий математики. Можно сказать, что множество — это любая определённая совокупность различных объектов [1]. При этом под объектом понимается «…всё, что может быть представлено, названо или воспринято исследователем» [2]. 

Множество всегда состоит из объектов, которые обладают некоторым общим свойством. Эти объекты называются элементами множества, а общее свойство, согласно которому отбирались элементы – характеристическим свойством. Наличие данного свойства является обязательным для множества, поскольку, как было указано выше, множество – определённая совокупность объектов.

Замечание 1.1. В литературе часто вместо термина «характеристическое свойство» пользуются терминами «характеристический предикат» или «порождающая процедура». Термин «характеристический предикат» означает математическое выражение характеристического свойства с использованием логики высказываний, а «порождающая процедура» описывает процедуру формирования множества.

Элементы множества различны и отличимы друг от друга. Приведём некоторые примеры множеств, их элементов, а также общих свойств этих элементов

Пример 1.1. Множество натуральных чисел. Элементами данного множества являются натуральные числа, а характеристическим свойством – определение натурального числа.

Пример 1.2. Множество решений квадратного уравнения. Элементами данного множества являются действительные числа, а характеристическим свойством – то, что действительное число удовлетворяет заданному квадратному уравнению.

Пример 1.3. Множество решений некоторого неравенства. Элементами данного множества являются действительные числа, а характеристическим свойством – тот факт, что число удовлетворяет неравенству

Пример 1.4: Множество символов алфавита некоторого языка (например, английского). Элементами этого множества являются символы алфавита, а характеристическим свойством – принадлежность буквы английскому алфавиту.

Пример 1.5. Множество студентов в аудитории. Элементами множества являются студенты, находящиеся в некоторой аудитории, а характеристическим свойством – признак того, что студент находится в данной аудитории

Множества обозначают заглавными латинскими буквами  с индексами или без них. Элементы множества обозначаются, как правило, строчными латинскими буквами   c индексами или без них.

Если некотрый объект  является элементом множества , то говорят, что х принадлежит М. Обозначение: . В противном случае говорят, что  не принадлежит . Обозначение: . Введённые символы уже использовались ранее в курсе средней школы для обозначения множества решений неравенства. Сейчас данное понятие обобщено для любых множеств, в том числе и не числовых. Отметим также, что элемент принадлежит множеству в том, и только в том случае, если он удовлетворяет характеристическому свойству данного множества.

Пример 1.6. Для множества натуральных чисел :  (читается как «два принадлежит эн»),  (читается как «одна целая пять десятых не принадлежит эн»)

Существуют два основных способа задания множеств: перечислением элементов и с помощью характеристического свойства:

Пример 1.7. Задание множества путём перечисления элементов:  2) .  В первом случае заданы элементы множества вместе с буквенным обозначением множества (заглавная латинская буква ), во втором случае множество задано только перечислением его элементов.

Пример 1.8. Задание множества с использованием характеристического свойства (см. пример 1.5):

(1.1)

Возможность задания множеств характеристическим свойством существенно зависит от формулировки данного свойства.. Использование некоторых понятий для этой цели может приводить к противоречиям. Например, все рассмотренные в примерах множества не содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим множество K всех множеств, несодержащих себя в качестве элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие. Это неразрешимое противоречие получило название парадокса Рассела. Избежать данного парадокса помогает введение понятия универсального множества (универсума), которому принадлежат элементы, входящие в хотя бы одно из рассматриваемых множеств. Универсальное множество будем обозначать буквой . Выбор универсума зависит, как правило, от решаемой задачи и необязательно включает в себя все объекты реального мира

Пример 1.9. Для множества натуральных чисел универсальным множеством может быть множество целых чисел или множество действительных чисел.

Пример 1.10. Для множества студентов универсумом будет множество всех людей от 17 до 24 лет или всё множество людей.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным, в противном случае множество бесконечно. Перечислением элементов могут быть заданы только конечные множества. Бесконечные множества можно задать только с использованием характеристического свойства. При достаточно большом количестве элементов, конечные множества также могут задаваться характеристическим свойством. Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается . Количество элементов конечного множества называется мощностью этого множества. Очевидно, что мощность пустого множества равна 0. Мощность некоторого множества  будем обозначать .

Замечание 1.2. В дальнейшем больше внимания будет уделяться конечным множествам. Это связано с тем, что количество адресов в оперативной памяти компьютера является конечным. Конечны также все структуры, используемые в компьютере для представления данных. (эти структуры в литературе называются структурами данных).

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов и имеют равные мощности. Равенство двух множеств будем обозначать знаком «=» (равно)

Пример 1.11. Множества  и равны. Множества  и  не равны, т.к. во множестве  осутствует элемент . Множества  и  не равны, т.к. один из элементов множества  является множеством.