Основными теоретико-множественными операциями являются объединение, пересечение, дополнение и разность.

Определение 1.4. Объединением двух множеств
является множество C, состоящее из элементов множества A„ и из элементов множества B:

(1.3)

Из характеристического свойства очевидно, что для включения элемента в объединение двух множеств необходимо, чтобы он принадлежал хотя бы одному из этих множеств.

Пример 1.14. Если заданы два множества  и Y={y: y – студент группы № 2}, то если для указанных групп проводится совместное лекционное занятие то множество  (см. пример 1.8 и формулу (1.1)): .

Пример 1.15. Даны два множества  и . Тогда результирующее множество  имеет вид .

Пример 1.16. Даны множества  и . Результатом объединения будет множество

Замечание 1.3. В примере 1.16 мощность результирующего множества меньше суммы мощностей исходных множеств. Это связано с тем, что результатом объединения множеств является также множество. А, как было указано в п. 1.1 множество не может содержать повторяющиеся элементы.

С помощью диаграмм Венна результат операции объединения множно представить, как показано на рис. 1.2.

ris1-2.jpg

Рис. 1.2 Пример операции объединения

Заштрихованная область представляет собой результат объединения множеств  и .

Определение 1.5. Пересечением
двух множеств  A и B  является множество C, состоящее из элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.

(1.4)

Согласно характеристическому свойству, в результирующее множество C включаются только те элементы множеств A и B, которые принадлежат обоим этим множествам. В характеристческом свойстве часто союз "и" заменяют знаком &:

(1.5)

Пример 1.17. Пересечением двух множеств  и  является пустое множество, т.к. эти множества не содержат общих элементов, т.е. 

Пример 1.18. Пересечением множеств  и  является множество . Т.е.

Почему множество  имеет два элемента, а не четыре, уже рассматривалось ранее (см. замечание 1.3). С помощью диаграмм Венна пересечение двух множеств изображается, как показано на рис. 1.3.

ris1-3.jpg

Рис. 1.3 Пересечение множеств

Заштрихованная область на рис. 1.3 представляет собой геометрическую интерпретацию операции пересечения двух множеств.

Определение 1.6. Разностью
множеств A и B является множество C, состоящее из элементов, принадлежащих множеству  A и не принадлежащих множеству B:

(1.6)

Таким образом, в результат операции разности двух множеств включаются те и только те элементы, которые входят только в одно из множеств

Пример 1.19. Разностью множеств  и  является множество , поскольку все его элементы не принадлежат множеству , т.е. .

Пример 1.20. Разностью множеств  и  будет множество .

На диаграмме Венна данная операция отображается, как показано на рис. 1.4.

ris1-4.jpg

Рис. 1.4 Графическое изображение разности двух множеств

На рис 1.4. штриховкой выделено множество, являющейся результатом операции разности двух множеств.

Определение 1.7. Дополнением множества A называется множество :

(1.7)

Согласно определению, множество, являющееся дополнением некоторого множества, содержит все элементы, не принадлежащие данному множеству. Тем не менее (учитывая парадокс Рассела) все элементы дополнения должны принадлежать универсуму. С использованием диаграмм Венна операция дополнения изображается, как показано на рис. 1.5.

ris1-5.jpg

Рис. 1.5 Диаграмма Венна для операции дополнения

Заштрихованная область на рис. 1.5 обозначает множество, являющееся дополнением множества .