Операции пересечения и объединения обладают свойством комутативности (т.е. для них выполняется переместительный закон), ассоциативности (сочетательный закон), дистрибутивности (распределительный закон) [1]:

Коммутативность объединения:

(1.8)

Комутативность пересечения:

(1.9)

Ассоциативность объединения

)

(1.10)

Ассоциативность пересечения

(1.11)

Дистрибутивность объединения относительно пересечения:

(1.12)

Дистрибутивность пересечения относительно объединения

(1.13)

Для операций пересечения и объединения справедливо также свойство идемпотентности:

(1.14)

(1.15)

Также для любых двух множеств  и  справедливо также свойство поглощения:

(1.16)

(1.17)

Справедливость этих свойств легко проверяется при помощи диаграмм Венна (предлагается проверить это самостоятельно).

Для пустого множества и универсума справедливы свойства нуля и единицы соответственно:

Свойства нуля объединения

(1.18)

Свойства нуля пересечения

(1.19)

Свойство единицы объединения

(1.20)

Свойство единицы пересечения

(1.21)

Для операции дополнения справедливо свойство инвалютивности – дополнение дополнения множества есть само множество:

(1.22)

Для дополнения справедливы также следующие свойства пересечения и объединения:

(1.23)

(1.24)

Для любых двух множеств  и  справедливы законы Де Моргана

(1.25)

(1.26)

Для разности, с учётом характеристического свойства этой операции, можно записать следующее свойство:

(1.27)

На основе свойств объединения, пересечения, разности и дополнения, введём в рассмотрение операцию симметрической разности, определя её следующим образом [3].

(1.28)

Учитывая определение разности, операцию симметрической разности можно определить следующим образом

Определение 1.8. Симметрической разностью двух множеств  и  называется множество, элементы которого могут принадлежать либо множеству  либо множеству , но не принадлежат пересечению этих множеств:

(1.29)

На диаграмме Венна операция симметрической разности отображается, как показано на рис. 1.6

ris1-6.jpg

Рис. 1.6 Операция симметрической разности

На рис. 1.6 заштриховано множество, являющееся результатом операции симметрической разности.

Приведём свойства симметрической разности.

(1.30)

(1.31)

(1.32)

Симметрическая разность коммутативна

(1.33)

Симметрическая разность ассоциативна

(1.34)

Пересечение дистрибутивно относительно симметрической разности:

(1.35)

Используя операции объединения, пересечения, разности, симметрической разности и  дополнения можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется одноместная операция дополнения, затем пересечения и только затем операция объединения и разности. При этом при упрощении выражений операция разности раскрывается до операций объединения и пересечения, после чего необходимо повторно применить приоритет операций. Для изменения этого порядка в выражении используют скобки.