Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор (упорядоченная n-ка, кортеж, вектор длины n). В отличие от конечного множества  кортеж  на множествах  характеризуется не только входящими в него элементами , но и порядком, в котором они перечисляются. Как и для упорядоченных пар, роль порядка в кортеже фиксируется определением равенства кортежей.

Определение 2.2. Два кортежа  и  на множествах  равны, если , .

Пример 2.2. Кортежи  и  на множествах  равны, поскольку для них выполняется определение равенства кортежей (,  и ).

Пример 2.3. Кортежи  и  на множествах не равны, поскольку  и  (хотя ).

Замечание 2.1. При  из определения (2.2) получаем определение равенства упорядоченных пар. Таким образом, упорядоченная пара – это также упорядоченный 2-набор или упорядоченная двойка. Геометрической интерпретацией упорядоченных пар является система координат. Очевидно, что равные пары обозначаются в системе координат одной и той же точкой. Таким образом, поскольку кортежи являются обобщением упорядоченных пар, можно говорить о том, что геометрической интерпретацией упорядоченного -набора является точка в -мерном пространстве, а равные кортежи обозначаются в этом пространстве одними и теми же точками.

Число  называется длиной кортежа (размерностью кортежа), а элемент , - -й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение 2.2 равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают. Простейшим примером кортежа является арифметический вектор, рассматриваемый в курсе высшей математики.

Определение 2.3. Множество всех кортежей длины  на множествах  называют декартовым (прямым) произведением множеств  и обозначают .

(2.1)

Пример 2.4. Декартовым произведением множеств  и  будет являтся множество .

Если все множества ,, равны между собой, то декартово произведение называют n-й декартовой степенью множества  и обозначают . В частности, при  получаем декартов квадрат, а при  - декартов куб множества .

По определению полагают, что первая декартова степень любого множества  есть само множество , т.е. .

Исходя из определения 2.3 мощность декартова произведения равняется произведению мощностей, входящих в них множеств:

(2.2)

В формуле (2.2) правая часть представляет собой обычное алгебраическое произведение двух чисел. Левая часть – мощность декартова произведения. Действительно, рассмотрев декартово произведение , заметим, что количество элементов декартова произведения с некоторым компонентом  равно . Поскольку существует  последовательностей элементов с одинаковым первым компонентом и учитывая определение декартова произведения приходим к формуле (2.2).

Декартово произведение имеет следующие свойства [4, 3]:

Дистрибутивность относительно объединения

(2.3)

Дистрибутивность относительно пересечения

(2.4)

Декартово произведение с пустым множеством

(2.5)

Введём в рассмотрение понятие проекции кортежа:

Определение 2.4. i-ой проекцией кортежа ,  (обозначают ) называют его i-ый элемент.

Данное определение проекции кортежа справедливо и для кортежей, входящих в подмножество декартова произведения.

В том случае, когда речь будет идти о множестве i-ых проекций  кортежей, принадлежащих множеству , будем обозначать это множество .