Определение 2.5. Соответствием  между множествами  и  (обозначается , либо ) называется подмножество . [5]

Пример 2.5. Простейшим примером соответствий, известном из курса средней школы, являются функции. Для любой функции, известной из курса средней школы справедливо соотношение . Пары  обладают в этом случае общим свойством – значения  и  обращают уравнение в верное равенство. Поэтому понятие «соответствие» обобщает введённое ещё в курсе средней школы понятие «функции». Далее будет показано (см. ниже), что функция есть соответствие, для которого справедливы ряд свойств соответствий.

Если , то говорят, что  соответствует  при соответствии . Достаточно часто в литературе термин «соответствие между множествами  и » употребляется по отношению к обозначению , а само множество пар  называют графиком соответствия. Также в литературе, наряду с обозначением  используют обозначение .

Соответствия можно задать перечислением пар, входящих в соответствие, заданием характеристического свойства или порождающей процедуры на декартовом произведении множеств . Кроме перечисленных способов, соответствия можно задавать также при помощи графа соответствия (рис. 2.1)

ris2-1.jpg

Рис. 2.1 Граф соответствия

На рис. 2.1 овалами обозначены множества A и B, а кругами – элементы указанных множеств. Стрелки выходят из первой компоненты упорядоченной пары и входят во вторую компоненту этой пары. Более подробно понятие графа рассматривается в курсе «дискретные структуры» во 2 семестре.

Соответствия можно также задавать на координатной плоскости. В этом случае, изображение соответствия на координатной плоскости также называется графиком соответствия.

Соответствия также можно задавать с использованием матриц соответствия. Данный способ более применим к частному случаю соответствий – отношениям, которые будут рассмотрены позднее.

Введём в рассмотрение понятие области определения и области значений соответствия, используя введённое в предыдущем параграфе понятия проекции:

Определение 2.6 Множество  называется областью определения соответствия (областью отправления соответствия).

Определение 2.7 Множество  - областью значений соответствия (областью прибытия соответствия).

Область определения соответствия обозначается , область значений –E.

Пример 2.6. Заданы два множества ,  и отображение. Тогда , 

Пример 2.7 Уравнение  задаёт соответствие , состоящее из пар действительных чисел. Эти пары являются координатами точек на окружности, радиусом 1 с центром в начале координат (рис. 2.1). Очевидно, что ; .

;ris2-1.jpg

Рис. 2.2 График соответствие

Пример 2.8 Уравнение  задаёт соответствие  состоящее из пар действительных чисел. Эти пары являются кооординатами круга и окружности единичного радиуса (рис.2.2.). Из рис. 2.2 видно, что ; .

Пример 2.9. Пусть заданы два множества: Множество  всех студентов, зачисленных на специальность «Программная инженерия»,  множество групп 1 курса специальности «Программная инженерия», определённое деканатом. Тогда  задаёт распределение поступивших студентов по группам. В этом случае , .

ris2-2.jpg

Рис. 2.3 График соответствия  (Заштриховано множество точек, принадлежащих отношению)